Задача
NT-B2-M11-P005 Чётный палиндром
#5
★★☆☆☆ Уровень 2 из 5
Докажите, что любой десятичный палиндром с чётным числом цифр делится на \(11\).
1001 Problems in Classical Number Theory (method inspiration) · Задача 230
Примените признак делимости на \(11\) и сгруппируйте симметричные цифры.
Пусть палиндром имеет \(2r\) цифр: \(a_{2r-1}\ldots a_1a_0\), причём \(a_i=a_{2r-1-i}\). В чередующейся сумме для делимости на \(11\) симметричные цифры стоят с противоположными знаками, потому что их позиции имеют разную чётность. Поэтому каждая пара взаимно уничтожается, вся сумма равна \(0\), и число делится на \(11\).
Это короткая задача, но она связывает симметрию записи с модульным рассуждением.