Задача
NT-B2-M11-P007 Простота числа из единиц
#7
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Число \(R_k=11\ldots1\), состоящее из \(k\) единиц, оказалось простым. Докажите, что \(k\) — простое число.
1001 Problems in Classical Number Theory (method inspiration) · Задача 260
Предположите, что \(k=ab\), и сгруппируйте единицы блоками длины \(a\).
Если \(k=ab\), где \(a,b>1\), то
\[R_k=1+10+\cdots+10^{ab-1}=R_a(1+10^a+10^{2a}+\cdots+10^{a(b-1)}).\]
Оба множителя больше \(1\), поэтому \(R_k\) составно. Противоречие. Значит, \(k\) простое.
Важно проговорить, что обратное утверждение неверно: например, при простом \(k\) репьюнит всё равно может быть составным.