Задача
NT-B2-M11-P008 Репьюниты, кратные \(37\)
#8
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Найдите все положительные \(n\), для которых число \(R_n=11\ldots1\) из \(n\) единиц делится на \(37\).
Заметьте, что \(R_3=111=3\cdot37\), и используйте делимость репьюнитов.
Так как \(R_3=111=3\cdot37\), то при \(3\mid n\) имеем \(R_3\mid R_n\), значит \(37\mid R_n\).
Обратно, \(37\mid R_n\) равносильно \(10^n\equiv1\pmod{37}\), потому что \(9\) обратимо по модулю \(37\). Проверим порядок \(10\) по модулю \(37\): \(10^3=1000\equiv1\pmod{37}\), а \(10\not\equiv1\), \(10^2=100\not\equiv1\pmod{37}\). Значит, порядок равен \(3\), и \(3\mid n\).
Ответ: все \(n\), кратные \(3\).
Задача связывает репьюниты и порядок числа \(10\), готовя к задачам о периодах.