NT-B2-M11-P009 Период дроби

Сравните остаток после \(h\) шагов деления в столбик с начальным остатком.

При делении в столбик каждый новый остаток получается умножением предыдущего на \(10\) по модулю \(n\). Через \(h\) шагов начальный остаток \(a\) переходит в остаток, сравнимый с \(a10^h\pmod n\). Период длины \(h\) означает возвращение к тому же остатку: \(a10^h\equiv a\pmod n\). Так как \((a,n)=1\), можно сократить на \(a\), получая \(10^h\equiv1\pmod n\). Минимальный такой \(h\) и есть длина периода.

Ученик должен понимать: цифры периода зависят от \(a\), а длина периода при несократимой дроби зависит от знаменателя.