Задача
NT-B2-M11-P010 Три периода
#10
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Найдите длины периодов десятичных дробей \(\frac17\), \(\frac1{13}\), \(\frac1{37}\).
1001 Problems in Classical Number Theory (method inspiration) · Задача 346
Найдите порядок числа \(10\) по каждому из модулей.
Для \(7\): \(10\equiv3\), \(10^2\equiv2\), \(10^3\equiv6\), \(10^6\equiv1\pmod7\), меньшая положительная степень не даёт \(1\). Период равен \(6\).
Для \(13\): \(10^2\equiv9\), \(10^3\equiv12\equiv-1\pmod{13}\), поэтому \(10^6\equiv1\), а меньшая положительная степень не подходит. Период равен \(6\).
Для \(37\): \(10^3=1000\equiv1\pmod{37}\), а \(10\) и \(10^2\) не сравнимы с \(1\). Период равен \(3\).
После решения можно попросить ученика выписать сами периоды и сравнить с теоретическим результатом.