Задача
NT-B2-M11-P011 Дробь, повторяющая своё знаменатель
#11
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Найдите все положительные целые \(n\), для которых десятичная дробь \(\frac1n\) равна \(0.\overline{n}\), где периодом является десятичная запись самого числа \(n\).
1001 Problems in Classical Number Theory (method inspiration) · Задача 262
Если \(n\) имеет \(k\) цифр, то \(0.\overline{n}=\frac{n}{10^k-1}\).
Пусть \(n\) имеет \(k\) цифр. Тогда \(0.\overline{n}=\frac{n}{10^k-1}\), поэтому условие даёт \(\frac1n=\frac{n}{10^k-1}\), то есть \(n^2=10^k-1\).
Если \(k=1\), получаем \(n^2=9\), значит \(n=3\). Если \(k\ge2\), то \(10^k\) делится на \(4\), поэтому \(10^k-1\equiv3\pmod4\), а квадрат не может быть сравним с \(3\pmod4\). Следовательно, других решений нет. Ответ: \(n=3\).
Хороший пример на перевод периодической десятичной записи в дробь.