Задача
NT-B2-M11-P012 Период ровно два
#12
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Найдите все \(n>1\), взаимно простые с \(10\), для которых десятичная дробь \(\frac1n\) имеет период ровно \(2\).
Период \(2\) означает \(10^2\equiv1\pmod n\), но \(10\not\equiv1\pmod n\).
Нужно, чтобы порядок \(10\) по модулю \(n\) равнялся \(2\). Значит, \(n\mid10^2-1=99\), но \(n\nmid10-1=9\). Делители \(99\): \(1,3,9,11,33,99\). Исключаем \(1\) и делители \(9\). Остаются \(11,33,99\). Для каждого из них \(10^2\equiv1\pmod n\), но \(10\not\equiv1\pmod n\), значит период действительно равен \(2\).
Задача хороша для закрепления слова «ровно»: нужно исключить меньший период.