Задача
NT-B2-M12-P006 Когда \(n\mid f(n)\)
#6
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
Пусть \(f\in\mathbb Z[x]\). Докажите, что \(n\mid f(n)\) для всех положительных \(n\) тогда и только тогда, когда \(f(0)=0\).
Используйте сравнение \(f(n)\equiv f(0)\pmod n\).
Из \(n-0\mid f(n)-f(0)\) получаем \(f(n)\equiv f(0)\pmod n\). Если \(n\mid f(n)\) для всех \(n\), то \(n\mid f(0)\) для всех \(n\), откуда \(f(0)=0\). Обратно, если \(f(0)=0\), то \(f(n)-f(0)\) делится на \(n\), значит \(n\mid f(n)\).
Один из главных шаблонов модуля.