Задача
ALG-B1-M04-P011 Два переставленных трёхчлена
#11
★★★★★ Уровень 5 из 5
Целые \(a,b,c\) таковы, что значения \(b x^2+c x+a\) и \(c x^2+a x+b\) при \(x=1000\) равны. Может ли первый трёхчлен при \(x=1\) принимать значение \(2024\)?
Inspired by regional olympiad method · 2010 · Класс 11 · Задача 7
Из равенства при \(1000\) выразите \(a\) через \(b,c\), затем посмотрите на значение при \(1\).
Из условия \(1000^2b+1000c+a=1000^2c+1000a+b\). После переноса и деления на \(999\) получаем \(1001b-1000c-a=0\), то есть \(a=1001b-1000c\).
Значение первого трёхчлена при \(1\) равно \(a+b+c=1002b-999c=3(334b-333c)\). Оно всегда делится на \(3\). Число \(2024\) на \(3\) не делится, значит такое невозможно.
Сохранена архитектура: значение в далёкой точке даёт линейное соотношение коэффициентов, затем появляется делимость.