Задача
ALG-B1-M04-P012 Общий корень с третьей итерацией
#12
★★★★★ Уровень 5 из 5
Пусть \(P(x)\) — приведённый квадратный трёхчлен. Известно, что \(P(x)\) и \(P(P(P(x)))\) имеют общий корень. Докажите, что \(P(0)P(1)=0\).
Inspired by final olympiad method · 2011 · Класс 9 · Задача 1
Если \(r\) — общий корень, то \(P(r)=0\). Что тогда равно \(P(P(P(r)))\)?
Пусть \(r\) — общий корень. Тогда \(P(r)=0\), а потому \(P(P(P(r)))=P(P(0))\). По условию это равно \(0\), значит \(P(P(0))=0\).
Обозначим \(P(x)=x^2+ux+v\). Тогда \(P(0)=v\), и условие \(P(v)=0\) даёт \(v^2+uv+v=v(v+u+1)=0\).
Если \(v=0\), то \(P(0)=0\). Если \(v+u+1=0\), то \(P(1)=1+u+v=0\). В обоих случаях \(P(0)P(1)=0\).
Финальный уровень: ключ в переходе от общего корня к \(P(P(0))=0\).