Задача
ALG-B1-M04-P013 Три корня у произведения
Числа \(u,v\) таковы, что каждый из трёхчленов \(x^2+ux+v\) и \(x^2+vx+u\) имеет два различных корня, а их произведение имеет ровно три различных корня. Найдите сумму этих трёх корней.
У трёхчленов есть общий корень. Вычтите значения в нём.
Так как произведение имеет ровно три различных корня, трёхчлены имеют общий корень \(r\). При этом \(u\ne v\), иначе корней было бы только два.
Вычитаем: \(0=(r^2+ur+v)-(r^2+vr+u)=(u-v)(r-1)\). Значит, \(r=1\). Подставляя, получаем \(1+u+v=0\).
Пусть остальные корни двух трёхчленов равны \(r_1\) и \(r_2\). По Виету для первого трёхчлена \(1+r_1=-u\), для второго \(1+r_2=-v\). Поэтому сумма трёх различных корней равна \(1+r_1+r_2=1-u-v-2=-u-v-1=0\).
Сохраняет идею общего корня и Виета; лишнее прямое разложение не нужно.