Задача
ALG-B1-M04-P014 Сравнение двух дискриминантов
Пусть \(P\) и \(Q\) — приведённые квадратные трёхчлены с двумя различными корнями каждый. Сумма значений \(Q\) в корнях \(P\) равна сумме значений \(P\) в корнях \(Q\). Докажите, что дискриминанты \(P\) и \(Q\) равны.
Обозначьте корни \(P\) через \(a_1,a_2\), а корни \(Q\) через \(b_1,b_2\).
Пусть \(P(x)=(x-a_1)(x-a_2)\), \(Q(x)=(x-b_1)(x-b_2)\). Условие означает \(Q(a_1)+Q(a_2)=P(b_1)+P(b_2)\).
Раскрывая только нужные суммы, получаем \((a_1-b_1)(a_1-b_2)+(a_2-b_1)(a_2-b_2)=(b_1-a_1)(b_1-a_2)+(b_2-a_1)(b_2-a_2)\).
После сокращения это равносильно \((a_1-a_2)^2=(b_1-b_2)^2\). Но для приведённого квадратного трёхчлена дискриминант равен квадрату разности корней. Значит, дискриминанты равны.
Тяжёлая часть — не потеряться в обозначениях; решение раскрывает только нужную структуру.