Задача
ALG-B1-M04-P015 Сколько значений достаточно
Учитель задумал приведённый многочлен степени \(5\) с целыми коэффициентами. Он хочет назвать \(k\) различных целых чисел и произведение значений многочлена в этих точках так, чтобы многочлен определялся однозначно. Докажите, что минимально возможное \(k\) равно \(5\).
Для \(k<5\) прибавьте произведение \((x-n_i)\). Для \(k=5\) выберите точки далеко друг от друга и произведение \(1\).
Если \(k<5\), то по любому подходящему многочлену \(P\) можно построить другой: \(Q(x)=P(x)+(x-n_1)\cdots(x-n_k)\). Он остаётся приведённым степени \(5\), но \(Q(n_i)=P(n_i)\). Значит, однозначности нет.
Для \(k=5\) возьмём точки \(n_i=10i\) и сообщим произведение значений \(1\). Подходит многочлен \(P(x)=\prod_{i=1}^5(x-n_i)+1\).
Если другой приведённый целочисленный многочлен \(Q\) тоже даёт произведение \(1\), то все \(Q(n_i)=\pm1\). Но \(Q(n_i)-Q(n_j)\) делится на \(n_i-n_j\), а разность \(2\) не делится на \(10\) или больше. Значит, все значения \(Q(n_i)\) одинаковы; так как их пять, произведение \(1\) даёт все \(Q(n_i)=1\). Тогда \(P-Q\) имеет пять корней и степень не выше \(4\), поэтому \(P=Q\).
Уменьшенная версия сильной идеи про целые значения и интерполяцию.