Задача
ALG-B1-M04-P016 Сумма корней двух трёхчленов
#16
★★★★★ Уровень 5 из 5
Приведённые квадратные трёхчлены \(f\) и \(g\) имеют по два действительных корня. Известно, что \(f(2)=g(5)\) и \(g(2)=f(5)\). Найдите сумму всех четырёх корней.
Inspired by regional olympiad method · 2019 · Класс 9 · Задача 1
Рассмотрите \(h(x)=g(7-x)\).
Многочлен \(h(x)=g(7-x)\) тоже приведённый квадратный. Условия дают \(h(2)=g(5)=f(2)\) и \(h(5)=g(2)=f(5)\).
Разность \(h-f\) имеет степень не выше \(1\), но имеет два корня \(2\) и \(5\). Значит, \(h=f\).
Если \(r\) — корень \(f\), то \(7-r\) — корень \(g\). Корни разбиваются на две пары с суммой \(7\), поэтому сумма всех четырёх корней равна \(14\).
Переписана идея отражения корней относительно середины двух точек.