Задача
ALG-B3-M11-P004 Кубическая разность
#4
★★★★☆ Уровень 4 из 5
Найдите \(P\in\mathbb R[x]\), если \(P(n+1)-P(n)=3n^2+3n+1\) для всех целых \(n\).
Правая часть равна \((n+1)^3-n^3\).
Многочлен \(P(x+1)-P(x)-((x+1)^3-x^3)\) имеет бесконечно много корней, значит тождественно равен нулю. Поэтому \(P(x)-x^3\) периодичен с периодом \(1\), следовательно постоянен. Ответ: \(P(x)=x^3+c\).
Полиномиальный метод в смешанном наборе.