Задача
ALG-B3-M11-P012 Скрытый корень из трёх
#12
★★★★★ Уровень 5 из 5
Найдите все возрастающие \(f:\mathbb R\to\mathbb R\), такие что \(f(x+f(y))=f(x)+3y\).
Докажите инъективность и аддитивность.
Если \(f(a)=f(b)\), сравнение при \(y=a,b\) даёт \(a=b\). При \(y=0\) получаем \(f(0)=0\); при \(x=0\), \(f(f(y))=3y\). Для \(t=f(y)\) имеем \(f(t)=3y\), значит \(f(x+t)=f(x)+f(t)\). Возрастающая аддитивная функция линейна: \(f(x)=cx\). Тогда \(c^2=3\), \(c>0\). Ответ: \(f(x)=\sqrt{3}x\).
Комбинация методов.