Задача
ALG-B3-M11-P016 Произведение и знак
#16
★★★★★ Уровень 5 из 5
Пусть \(f\) аддитивна и \(f(x)f(y)\le xy\) для всех \(x,y\). Найдите \(f\).
Сначала \(y=x\), затем разные знаки \(xy\).
При \(y=x\): \(f(x)^2\le x^2\), значит \(f\) ограничена на \([-1,1]\), и \(f(x)=cx\). Тогда \(c^2xy\le xy\). При \(xy>0\): \(c^2\le1\), при \(xy<0\): \(c^2\ge1\). Значит, \(c^2=1\). Ответ: \(f(x)=x\), \(f(x)=-x\).
Неравенство как regularity.