Задача
GEO-B1-M01-P013 Высота и биссектриса
В треугольнике \(ABC\) из вершины \(A\) проведены высота \(AH\) и биссектриса \(AL\). Докажите, что угол между \(AH\) и \(AL\) равен половине разности углов \(B\) и \(C\).
Выразите \(\angle BAL\) через \(\angle B\) и \(\angle C\), а угол между \(AB\) и \(AH\) через \(\angle B\).
Пусть \(\angle B=\beta\), \(\angle C=\gamma\), и пусть \(\beta>\gamma\). Тогда \(\angle A=180^\circ-\beta-\gamma\), поэтому \(\angle BAL=\frac{180^\circ-\beta-\gamma}{2}\). Так как \(AH\perp BC\), угол между \(AB\) и \(AH\) равен \(90^\circ-\beta\). Тогда угол между \(AH\) и \(AL\) равен \(\frac{180^\circ-\beta-\gamma}{2}-(90^\circ-\beta)=\frac{\beta-\gamma}{2}\). При \(\gamma>\beta\) аналогично получается \(\frac{\gamma-\beta}{2}\).
Это первая задача в модуле, где полезно разобрать два случая или говорить о модуле разности.