#1 Углы, прямые и параллельные прямые

Пусть меньший угол равен \(x\). Тогда больший равен \(x+28^\circ\), и \(x+x+28^\circ=180^\circ\). Получаем \(2x=152^\circ\), поэтому \(x=76^\circ\). Второй угол равен \(104^\circ\).

Углы \(AOC\) и \(BOD\) вертикальные, значит \(\angle BOD=64^\circ\). Угол \(AOD\) смежен с \(AOC\), поэтому \(\angle AOD=180^\circ-64^\circ=116^\circ\). Угол \(BOC\) вертикален к \(AOD\), значит \(\angle BOC=116^\circ\).

Пусть углы равны \(2x\), \(3x\), \(4x\). Их сумма равна \(180^\circ\), значит \(9x=180^\circ\) и \(x=20^\circ\). Углы равны \(40^\circ\), \(60^\circ\), \(80^\circ\).

Имеем \(126^\circ=\angle A+\angle B\), поэтому \(\angle B=126^\circ-49^\circ=77^\circ\). Внутренний угол при \(C\) смежен с данным внешним углом, значит \(\angle C=180^\circ-126^\circ=54^\circ\).

Накрест лежащий угол равен \(117^\circ\). Внутренний односторонний угол равен \(180^\circ-117^\circ=63^\circ\).

Углы \(\angle CAB\) и \(\angle ABD\) являются накрест лежащими при прямых \(AC\), \(BD\) и секущей \(AB\). Они равны по условию. По признаку параллельности прямых получаем \(AC\parallel BD\).

Пусть внутренние односторонние углы равны \(\alpha\) и \(\beta\). Тогда \(\alpha+\beta=180^\circ\). Их биссектрисы образуют с секущей углы \(\frac{\alpha}{2}\) и \(\frac{\beta}{2}\). Сумма этих углов равна \(\frac{\alpha+\beta}{2}=90^\circ\). Значит угол между биссектрисами равен \(90^\circ\), то есть они перпендикулярны.

Так как \(l\parallel AC\), два угла при прямой \(l\) равны углам \(A\) и \(C\) треугольника, а средний угол равен \(\angle B\). Поэтому углы треугольника имеют отношение \(3:8:4\). Пусть они равны \(3x\), \(8x\), \(4x\). Тогда \(15x=180^\circ\), откуда \(x=12^\circ\). Значит углы равны \(36^\circ\), \(96^\circ\), \(48^\circ\).

Пусть два угла равны \(x\) и \(y\), а третий равен \(x+y\). Тогда сумма углов треугольника даёт \(x+y+(x+y)=180^\circ\). Следовательно, \(2(x+y)=180^\circ\), значит \(x+y=90^\circ\). Третий угол равен \(90^\circ\), поэтому треугольник прямоугольный.

Имеем \(\angle A=180^\circ-42^\circ-74^\circ=64^\circ\). Так как \(AD\) биссектриса, \(\angle BAD=32^\circ\). В треугольнике \(ABD\): \(\angle BDA=180^\circ-42^\circ-32^\circ=106^\circ\). Тогда \(\angle ADC=180^\circ-106^\circ=74^\circ\).

Так как \(AB=AC\), углы при основании равны: \(\angle B=\angle C=72^\circ\). Тогда \(\angle A=180^\circ-72^\circ-72^\circ=36^\circ\). Биссектриса \(BD\) даёт \(\angle ABD=\angle DBC=36^\circ\). В треугольнике \(ABD\): углы \(36^\circ\), \(36^\circ\), \(108^\circ\). В треугольнике \(BCD\): \(\angle DBC=36^\circ\), \(\angle BCD=72^\circ\), значит \(\angle BDC=72^\circ\).

Сначала \(\angle A=180^\circ-54^\circ-62^\circ=64^\circ\). Поскольку \(DE\parallel BC\), имеем \(\angle ADE=\angle C=62^\circ\) и \(\angle AED=\angle B=54^\circ\). Следовательно, углы треугольника \(ADE\): \(64^\circ\), \(62^\circ\), \(54^\circ\).

Пусть \(\angle B=\beta\), \(\angle C=\gamma\), и пусть \(\beta>\gamma\). Тогда \(\angle A=180^\circ-\beta-\gamma\), поэтому \(\angle BAL=\frac{180^\circ-\beta-\gamma}{2}\). Так как \(AH\perp BC\), угол между \(AB\) и \(AH\) равен \(90^\circ-\beta\). Тогда угол между \(AH\) и \(AL\) равен \(\frac{180^\circ-\beta-\gamma}{2}-(90^\circ-\beta)=\frac{\beta-\gamma}{2}\). При \(\gamma>\beta\) аналогично получается \(\frac{\gamma-\beta}{2}\).

В треугольнике \(BIC\): \(\angle IBC=\frac{B}{2}\), \(\angle ICB=\frac{C}{2}\). Поэтому \(\angle BIC=180^\circ-\frac{B+C}{2}\). Так как \(B+C=180^\circ-A\), получаем \(\angle BIC=180^\circ-\frac{180^\circ-A}{2}=90^\circ+\frac{A}{2}\). Значит \(124^\circ=90^\circ+\frac{A}{2}\), откуда \(A=68^\circ\).

Пусть внешняя биссектриса образует со стороной \(AB\) угол \(x\). Так как она параллельна \(BC\), этот угол равен \(\angle B\). Поскольку это биссектриса внешнего угла, второй угол между ней и прямой \(AC\) тоже равен \(x\). По параллельности он равен \(\angle C\). Следовательно, \(\angle B=\angle C\). Значит треугольник равнобедренный, и \(AB=AC\).

В треугольнике \(ABC\): \(\angle C=180^\circ-60^\circ-50^\circ=70^\circ\). Так как \(D\) лежит на \(AB\), угол \(CBD\) равен \(\angle CBA=50^\circ\). В треугольнике \(BCD\) стороны \(CD\) и \(BD\) равны, поэтому углы при основании \(BC\) равны: \(\angle BCD=\angle CBD=50^\circ\). Тогда \(\angle ACD=\angle ACB-\angle BCD=70^\circ-50^\circ=20^\circ\).

Так как \(AB=AC\), углы при основании равны: \(\angle B=\angle C=\frac{180^\circ-36^\circ}{2}=72^\circ\). В треугольнике \(BCD\) стороны \(BD\) и \(BC\) равны, значит \(\angle BDC=\angle BCD\). Так как \(D\) лежит на \(AC\), \(\angle BCD=72^\circ\), поэтому \(\angle BDC=72^\circ\). Тогда \(\angle DBC=180^\circ-72^\circ-72^\circ=36^\circ\). Следовательно, \(\angle ABD=\angle ABC-\angle DBC=72^\circ-36^\circ=36^\circ\).

Углы \(\angle BAC\) и \(\angle DCA\) являются накрест лежащими при прямых \(AB\) и \(CD\) и секущей \(AC\). Они равны, значит \(AB\parallel CD\). Аналогично углы \(\angle BCA\) и \(\angle DAC\) являются накрест лежащими при прямых \(BC\) и \(AD\) и секущей \(AC\). Они равны, значит \(BC\parallel AD\).

Поскольку \(DE\parallel AB\), угол между \(DE\) и \(AD\) равен \(\angle BAD\). Поскольку \(DF\parallel AC\), угол между \(AD\) и \(DF\) равен \(\angle DAC\). По условию \(\angle BAD=\angle DAC\). Значит \(AD\) делит угол \(EDF\) на два равных угла, то есть является его биссектрисой.

Так как \(DE\parallel AB\), угол между \(DE\) и \(AD\) равен \(\angle BAD\). Так как \(DF\parallel AC\), угол между \(AD\) и \(DF\) равен \(\angle DAC\). По условию \(AD\) биссектриса \(\angle EDF\), значит эти два угла при \(D\) равны. Следовательно, \(\angle BAD=\angle DAC\), то есть \(AD\) биссектриса угла \(A\).