Задача
GEO-B1-M04-P013 Середины сторон четырёхугольника
#13
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
В выпуклом четырёхугольнике \(ABCD\) точки \(M,N,P,Q\) — середины сторон \(AB,BC,CD,DA\) соответственно. Докажите, что \(MNPQ\) — параллелограмм.
Сравните \(MN\) и \(PQ\) как средние линии треугольников с диагональю \(AC\).
В треугольнике \(ABC\) отрезок \(MN\) соединяет середины двух сторон, значит \(MN\parallel AC\) и \(MN=\frac{1}{2}AC\). В треугольнике \(CDA\) отрезок \(PQ\) также соединяет середины двух сторон, значит \(PQ\parallel AC\) и \(PQ=\frac{1}{2}AC\). Следовательно, \(MN\parallel PQ\) и \(MN=PQ\). Если в четырёхугольнике одна пара противоположных сторон равна и параллельна, то это параллелограмм. Значит \(MNPQ\) — параллелограмм.
Это теорема Вариньона в базовом виде; хорошая опора для следующих задач.