Задача
GEO-B1-M04-P016 Диагональ делит среднюю линию
#16
★★★☆☆ Уровень 3 из 5
В трапеции \(ABCD\) основания \(AD\parallel BC\). Точки \(M\) и \(N\) — середины боковых сторон \(AB\) и \(CD\). Диагональ \(AC\) пересекает \(MN\) в точке \(P\). Докажите, что \(MP:PN=BC:AD\).
Покажите, что \(P\) — середина диагонали \(AC\), затем используйте средние линии двух треугольников.
Так как \(MN\parallel BC\), то в треугольнике \(ABC\) прямая через середину \(M\) стороны \(AB\), параллельная \(BC\), пересекает \(AC\) в её середине. Значит \(P\) — середина \(AC\). Тогда \(MP\) — средняя линия треугольника \(ABC\), поэтому \(MP=\frac{1}{2}BC\). Также \(PN\) — средняя линия треугольника \(ACD\), поэтому \(PN=\frac{1}{2}AD\). Следовательно, \(MP:PN=BC:AD\).
Полезная задача на скрытые средние линии и отношение отрезков.