Курс

Алгебра. Книга 3

Book 3. Functional Equations

  • 1. Что такое функциональное уравнение?
  • 2. Первые подстановки
  • 3. Линейные функциональные уравнения
  • 4. Инъективность и сюръективность
  • 5. Уравнения типа Коши
  • 6. Функциональные уравнения на целых
  • 7. Полиномиальные функциональные уравнения
  • 8. Итерация
  • 9. Условия-неравенства в функциональных уравнениях
  • 10. Продвинутые функциональные уравнения
  • 11. Смешанные функциональные уравнения
Войдите, чтобы сохранять решённые и закладки.
Теория Примеры Практика Лестницы

Главы

Главы

Глава

Что такое функциональное уравнение?

Вводный, но олимпиадный модуль: область определения, проверка решений, сдвиги к аддитивности, первые итерации и отличие \(\mathbb Q\) от \(\mathbb R\).
20 Задачи
Теория Примеры Практика

Глава

Первые подстановки

Модуль о первых подстановках в функциональных уравнениях: \(x=0\), \(y=0\), \(x=y\), \(x=-y\), замены переменных и source-inspired задачи регионального и финального уровня.
24 Задачи
Теория Примеры Практика

Глава

Линейные функциональные уравнения

Модуль о доказательстве линейного и аффинного вида функции: аддитивность на рациональных, регулярность на действительных, сдвиги, постоянные функции и композиции.
20 Задачи
Теория Примеры Практика

Глава

Инъективность и сюръективность

Модуль о том, как доказывать инъективность, использовать сюръективность, сокращать внешний знак функции и работать с прообразами в функциональных уравнениях.
20 Задачи
Теория Примеры Практика

Глава

Уравнения типа Коши

Модуль о классических функциональных уравнениях типа Коши: аддитивность, мультипликативность, уравнение середин, квадратическая версия и различия между доменами \(\mathbb N\), \(\mathbb Z\), \(\mathbb Q\), \(\mathbb R\).
20 Задачи
Теория Примеры Практика

Глава

Функциональные уравнения на целых

Модуль о дискретных функциональных уравнениях: индукция, чётность, делимость, рекурсии, классы по модулю и конечные области.
20 Задачи
Теория Примеры Практика

Глава

Полиномиальные функциональные уравнения

Модуль о функциональных уравнениях, где неизвестная функция является многочленом: сравнение степеней, старших коэффициентов, конечные разности и корневые аргументы.
20 Задачи
Теория Примеры Практика

Глава

Итерация

Модуль о повторном применении функции: \(f(f(x))\), неподвижные точки, циклы, инволюции, идемпотенты и цепочки итераций.
20 Задачи
Теория Примеры Практика

Глава

Условия-неравенства в функциональных уравнениях

Модуль о том, как монотонность, ограниченность, положительность и сохранение порядка заставляют функциональные уравнения иметь обычные линейные решения.
20 Задачи
Теория Примеры Практика

Глава

Продвинутые функциональные уравнения

Модуль о смешанных и параметрических функциональных уравнениях: аддитивность плюс произведение, системы функций, рациональные и действительные домены, композиции и параметры.
20 Задачи
Теория Примеры Практика

Глава

Смешанные функциональные уравнения

Смешанный модуль без заранее указанного метода: Cauchy, Jensen, итерации, конечные множества, многочлены, неравенства и параметры.
20 Задачи
Теория Примеры Практика