Итерация

Если \(f(a)=a\), то \(f(f(a))=f(a)=a\). Но по условию \(f(f(a))=a+1\). Получаем противоречие \(a=a+1\).

Пусть \(y\) принадлежит образу. Тогда \(y=f(t)\) для некоторого \(t\). Поэтому \(f(y)=f(f(t))=f(t)=y\). Значит, \(y\) неподвижна.

Если \(f(a)>a\), то из возрастания \(f(f(a))>f(a)\), то есть \(a>f(a)\), противоречие. Если \(f(a)

Имеем \(f(f(x))=a(ax+b)+b=a^2x+b(a+1)\). Поэтому \(a^2=1\) и \(b(a+1)=0\). Если \(a=1\), то \(b=0\), получаем \(f(x)=x\). Если \(a=-1\), то \(b\) произвольно, получаем \(f(x)=-x+b\).

Циклы перестановки имеют длины \(1\) или \(3\). Если неподвижных точек нет, все циклы имеют длину \(3\), и число элементов делится на \(3\). Но \(10\) не делится на \(3\). Значит, есть цикл длины \(1\), то есть неподвижная точка.

Пусть \(f(x)=cx\). Тогда \(f(f(x))=c^2x\). Получаем \(c^2=4\), поэтому \(c=2\) или \(c=-2\). Ответ: \(f(x)=2x\), \(f(x)=-2x\).

Аддитивность на \(\mathbb Q\) даёт \(f(x)=cx\). Условие \(f^3(x)=8x\) даёт \(c^3=8\), откуда \(c=2\). Ответ: \(f(x)=2x\).

Имеем \(f^2(x)=a^2x+b(a+1)\). Поэтому \(a^2=1\). Если \(a=1\), то \(2b=6\), \(b=3\). Если \(a=-1\), то сдвиг равен \(0\), а не \(6\). Ответ: \(f(x)=x+3\).

Коэффициент при \(x\) в \(f^3(x)\) равен \(a^3\), поэтому \(a^3=1\), значит \(a=1\). Тогда \(f(x)=x+b\), и \(f^3(x)=x+3b\). Получаем \(3b=6\), \(b=2\). Ответ: \(f(x)=x+2\).

Если \(P\) постоянен, невозможно. Если \(\deg P=d\), то \(d^2=1\), поэтому \(d=1\). Пусть \(P(x)=ax+b\). Тогда \(a^2x+b(a+1)=x\), откуда \(a^2=1\), \(b(a+1)=0\). Ответ: \(P(x)=x\) или \(P(x)=-x+b\).

Любой постоянный многочлен подходит. Пусть \(P\) непостоянен. Тогда множество значений \(P(x)\) бесконечно. Для каждого \(t=P(x)\) имеем \(P(t)=t\). Значит, многочлен \(P(T)-T\) имеет бесконечно много корней, поэтому \(P(T)=T\). Ответ: все постоянные многочлены и \(P(x)=x\).

Длины циклов могут быть \(1,2,4\). Если нет циклов длины \(1\) и \(2\), все циклы имеют длину \(4\). Тогда число элементов должно делиться на \(4\), но \(6\) не делится на \(4\). Противоречие.

Из \(f(n+1)=f(n)+1\) следует \(f(n)-n\) постоянно на \(\mathbb Z\). Значит, \(f(n)=n+c\). Тогда \(f^2(n)=n+2c\). По условию \(2c=4\), откуда \(c=2\). Ответ: \(f(n)=n+2\).

Пусть \(m=f(n)\). Тогда \(m>n\), а \(f(m)=n+2\). По условию, применённому к \(m\), имеем \(f(m)>m\). Значит, \(n+2>m\). Итак, \(n

Для всех \(x\) имеем \(a^2x\equiv x\pmod p\), значит \(a^2\equiv1\pmod p\). Тогда \((a-1)(a+1)\equiv0\pmod p\). Так как \(p\) простое, \(a\equiv1\) или \(a\equiv-1\pmod p\).

Если \(P\) постоянен, невозможно. Пусть \(\deg P=d\). Тогда \(\deg P^3=d^3\), а справа степень \(1\), значит \(d=1\). Пусть \(P(x)=ax+b\). Тогда коэффициент при \(x\) в третьей итерации равен \(a^3\), поэтому \(a^3=1\), откуда над \(\mathbb R\) \(a=1\). Тогда \(P(x)=x+b\), и \(P^3(x)=x+3b\). Получаем \(b=0\). Ответ: \(P(x)=x\).

Аддитивность на \(\mathbb Q\) даёт \(f(x)=cx\) с рациональным \(c\). Тогда \(f(f(x))=c^2x\). Условие требует \(c^2=-1\), что невозможно для рационального числа. Значит, такой функции нет.

Если \(P=c\) постоянно, то \(c=c^2\), значит \(c=0\) или \(c=1\). Пусть \(P\) непостоянен. Для каждого \(t\) из образа \(P\) имеем \(t=P(x)\) и потому \(P(t)=t^2\). Образ непостоянного многочлена бесконечен, значит \(P(T)-T^2\) имеет бесконечно много корней. Следовательно, \(P(T)=T^2\). Ответ: \(P=0\), \(P=1\), \(P(x)=x^2\).

Если \(f(a)>a\), то из возрастания \(f^2(a)>f(a)>a\), а затем \(f^3(a)>f^2(a)>a\), что противоречит \(f^3(a)=a\). Если \(f(a)

Зафиксируем \(a\). Если \(f(a)>a\), то по строгому возрастанию \(f^2(a)>f(a)\), затем \(f^3(a)>f^2(a)\), и так далее. Получаем \(f^k(a)>a\), противоречие. Если \(f(a)