#1 Принципы подсчёта

Всего \(6+5=11\) карточек, значит одну карточку можно выбрать \(11\) способами.

Для каждого из \(4\) супов есть \(3\) варианта второго блюда. Всего \(4\cdot3=12\) обедов.

Десятки выбираются \(5\) способами, единицы — \(4\) способами. Всего \(5\cdot4=20\).

Каждый элемент либо входит, либо не входит в подмножество, значит всего \(2^6=64\) подмножества. Пустое одно, поэтому непустых \(64-1=63\).

Число \(a\) может быть \(1,2,3,4,5,6\). После выбора \(a\) число \(b=7-a\) положительно и определяется однозначно. Ответ: \(6\).

Если последняя цифра \(0\), сотни выбираются \(5\) способами, десятки \(4\): \(20\). Если последняя \(2\) или \(4\), сотни нельзя выбрать \(0\) и нельзя выбрать последнюю цифру: \(4\) способа, десятки \(4\) способа. Для двух таких случаев \(2\cdot4\cdot4=32\). Всего \(52\).

Нужно расположить \(2\) шага вверх среди \(5\) шагов пути. Это можно сделать \(10\) способами: позиции двух шагов вверх выбираются из пяти.

Первая буква: \(3\) варианта. Каждая из следующих трёх букв: \(2\) варианта. Всего \(3\cdot2^3=24\).

Кратных \(3\): \(66\). Кратных \(5\): \(40\). Кратных обоим, то есть \(15\): \(13\). Ответ \(66+40-13=93\).

Председателя можно выбрать \(12\) способами, после этого секретаря \(11\) способами. Всего \(12\cdot11=132\).

Всего команд из \(7\) человек по \(3\): \(35\). Команд только из мальчиков: \(4\). Значит нужных команд \(35-4=31\).

Первую полосу выбираем \(4\) способами. Вторую — \(3\), третью — \(3\). Всего \(4\cdot3\cdot3=36\).

Если последняя цифра \(0\), первая выбирается \(7\) способами, затем \(6\) и \(5\): \(210\). Если последняя цифра \(5\), первая выбирается из \(1,2,3,4,6,7\): \(6\) способов, затем \(6\) и \(5\): \(180\). Всего \(390\).

Выбираем \(3\) позиции из \(10\) для единиц; остальные позиции заняты нулями. Получаем \(120\) строк.

Всего \(3^5=243\). Без \(A\): \(2^5=32\). Без \(B\): \(32\). Без обеих букв — только \(CCCCC\), один вариант. Ответ \(243-32-32+1=180\).

Всего путей \(35\): нужно выбрать позиции трёх шагов вверх среди семи. Через \((2,1)\): до этой точки \(3\) пути, после неё до \((4,3)\) — \(6\) путей. Запрещённых \(18\). Ответ \(35-18=17\).

Среди чисел от \(1\) до \(20\) есть \(10\) чётных и \(10\) нечётных. Пары с чётной суммой: оба чётные \(10\cdot10\) или оба нечётные \(10\cdot10\). Всего \(200\).

Нужно выбрать любые \(3\) цифры из \(1,2,\ldots,9\). После выбора они ставятся в единственном возрастающем порядке. Таких наборов \(84\).

После обязательного размещения остаётся \(2\) шара, которые можно распределить по \(3\) коробкам. Возможности: оба в одну коробку — \(3\) способа; по одному в две коробки — \(3\) способа. Всего \(6\).

В сетке \(4\) на \(5\) клеток есть \(5\) горизонтальных и \(6\) вертикальных линий. Выбираем \(2\) вертикальные линии и \(2\) горизонтальные: \(15\cdot10=150\).

В десятичной системе \(5\) чётных цифр и \(5\) нечётных. Для шести цифр сумма чётна, если нечётных цифр \(2\) или \(4\). При \(2\) нечётных наборах без нуля \(10\), с нулём \(40\); вклад \(10\cdot720+40\cdot600=31200\). При \(4\) нечётных наборах без нуля \(30\), с нулём \(20\); вклад \(30\cdot720+20\cdot600=33600\). Итого \(64800\).

Всего \(2^{20}\) подмножеств. Без чётных: можно выбирать только из \(10\) нечётных, \(2^{10}\). Без кратных \(5\): \(16\) доступных чисел, \(2^{16}\). Без чётных и без кратных \(5\): остаются \(8\) нечётных, не кратных \(5\), значит \(2^8\). Ответ: \(2^{20}-2^{10}-2^{16}+2^8\).

Если все \(5\) символов одинаковые, есть \(4\) строки. Если кратности \(3\) и \(2\), выбираем букву, которая встречается \(3\) раза: \(4\) способа, букву, которая встречается \(2\) раза: \(3\) способа, позиции для первой буквы: \(10\) способов. Получаем \(4+4\cdot3\cdot10=124\).

Рассмотрим \(7\) возможных запрещённых соседств. Если выбраны \(k\) соседств, они образуют \(c\) блоков подряд идущих рёбер в цепочке. Такие \(k\) рёбер можно выбрать \(C(k-1,c-1)C(8-k,c)\) способами. Каждый блок можно ориентировать \(2\) способами, значит ориентаций \(2^c\), а после склейки остаётся \(8-k\) объектов, которые можно переставить \((8-k)!\) способами. По включению-исключению получаем сумму \(40320-70560+51840-20400+4608-612+48-2=5242\).