#2 Перестановки и размещения

Ответ \(5!=120\).

Если считать все \(4\) буквы различными, будет \(4!=24\). Каждое слово посчитано \(2!\cdot2!=4\) раза. Ответ \(24/4=6\).

Первого можно выбрать \(7\) способами, второго \(6\), третьего \(5\). Всего \(7\cdot6\cdot5=210\).

Фиксируем одного человека, чтобы убрать повороты. Остальных \(4\) рассаживаем \(4!=24\) способами.

Блок и ещё \(4\) человека — всего \(5\) объектов, их можно расставить \(5!\) способами. Внутри блока \(2\) порядка. Ответ \(2\cdot5!=240\).

Всего \(6!=720\). Рядом они стоят \(2\cdot5!=240\) способами. Значит ответ \(720-240=480\).

Всего \(6\) букв. Делим \(6!\) на \(3!\) для букв \(A\) и на \(2!\) для букв \(N\). Получаем \(6!/(3!\cdot2!)=60\).

Всего \(7!=5040\). Если двое рядом, склеиваем их: \(6!\cdot2=1440\). Ответ \(5040-1440=3600\).

Три предметных блока можно переставить \(3!\) способами. Внутри блоков: \(3!\), \(2!\), \(2!\). Всего \(3!\cdot3!\cdot2!\cdot2!=144\).

Пара образует блок. Итого \(5\) объектов на круге, их можно расположить \((5-1)!=24\) способами. Внутри блока \(2\) порядка. Ответ \(48\).

Всего \(24\). С одной указанной неподвижной точкой: \(3!\), таких точек \(4\). С двумя: \(2!\), таких пар \(6\). С тремя: \(1!\), таких наборов \(4\). С четырьмя: \(1\). Ответ \(24-4\cdot6+6\cdot2-4\cdot1+1=9\).

Всего \(5!=120\) перестановок. По симметрии ровно половина имеет \(1\) раньше \(2\). Ответ \(60\).

Мальчиков можно расставить \(5!\) способами. Вокруг них \(6\) промежутков: до первого, между соседними и после последнего. Выбираем \(4\) промежутка для девочек и расставляем девочек \(4!\) способами. Ответ \(5!\cdot15\cdot4!=43200\).

Всего \(6!/(2!2!2!)=90\). Если \(AA\) рядом, считаем блок \(AA\), \(B,B,C,C\): \(5!/(2!2!)=30\), таких букв \(3\). Если две пары рядом, например \(AA\) и \(BB\), получаем \(4!/2!=12\), таких выборов \(3\). Если все три пары рядом, \(3!=6\). Ответ \(90-3\cdot30+3\cdot12-6=30\).

Если последняя \(0\), первая цифра выбирается \(6\) способами, затем \(5\) и \(4\): \(120\). Если последняя \(5\), первая цифра не \(0\) и не \(5\): \(5\) способов, затем \(5\) и \(4\): \(100\). Всего \(220\).

Всего \((8-1)!=5040\). Если двое рядом, склеиваем их в блок: остаётся \(7\) объектов на круге, \((7-1)!=720\), внутри блока \(2\) порядка. Плохих \(1440\). Ответ \(5040-1440=3600\).

Всего \(8!\) расстановок. Относительные порядки книг \(A,B,C\) равновозможны, их \(3!=6\). Подходит один порядок, значит ответ \(8!/6=6720\).

Чётные числа \(2,4,6\) можно расставить по местам \(2,4,6\) в \(3!\) способах. Нечётные числа \(1,3,5,7\) занимают остальные места в \(4!\) способах. Ответ \(3!\cdot4!=144\).

Всего пар позиций для двух \(A\): \(10\). Соседних пар \(4\), значит несоседних \(6\). Остальные \(3\) позиции можно заполнить буквами \(B,C,D\) независимо: \(3^3=27\). Ответ \(6\cdot27=162\).

Зафиксируем Антона. Для Бориса есть \(2\) места на расстоянии два шага по кругу от Антона. Оставшихся \(3\) человек рассаживаем \(3!\) способами. Ответ \(2\cdot3!=12\).

Всего \(5!=120\). С хотя бы одной указанной неподвижной точкой считаем по включению-исключению: \(120-5\cdot4!+10\cdot3!-10\cdot2!+5\cdot1!-1=120-120+60-20+5-1=44\).

Мальчиков можно посадить по кругу \((6-1)!=120\) способами. Между ними образуется \(6\) промежутков, в которые нужно рассадить \(6\) девочек: \(6!\) способов. Ответ \(120\cdot720=86400\).

Числа \(4,5,6,7,8\) можно расставить \(5!\) способами. Они создают \(6\) промежутков, включая края. Нужно выбрать \(3\) промежутка для чисел \(1,2,3\) и расположить эти числа \(3!\) способами. Ответ \(5!\cdot20\cdot6=14400\).

Всего перестановок \(10!/(2!^5)=113400\). Если выбрать \(k\) букв, пары которых склеены, получаем \(C(5,k)(10-k)!/(2!^{5-k})\) расположений. По включению-исключению: \(113400-113400+50400-12600+1800-120=39480\).