Гомотетия и спиральное подобие

Так как \(AD:DB=2:3\), то \(AD:AB=2:5\). Поскольку \(DE \parallel BC\), треугольники \(ADE\) и \(ABC\) подобны. Коэффициент подобия равен \(\frac{AD}{AB}=\frac{2}{5}\). Поэтому \(\frac{DE}{BC}=\frac{2}{5}\), то есть \(DE:BC=2:5\).

Так как \(AB \parallel CD\), имеем \(\angle OAB=\angle OCD\) и \(\angle OBA=\angle ODC\). Следовательно, \(\triangle OAB \sim \triangle OCD\). Отсюда \(\frac{OA}{OC}=\frac{OB}{OD}=\frac{AB}{CD}\). Точки \(A,C,O\) и \(B,D,O\) лежат на соответствующих прямых, значит, гомотетия с центром \(O\) и коэффициентом \(\frac{OC}{OA}\) переводит \(A\) в \(C\), \(B\) в \(D\), а \(AB\) в \(CD\).

При внешнем касании точки \(O_1,T,O_2\) коллинеарны, причём \(TO_1=3\), \(TO_2=7\). Гомотетия с центром \(T\) и коэффициентом \(-\frac{7}{3}\) переводит центр \(O_1\) в \(O_2\) и окружность радиуса \(3\) в окружность радиуса \(7\). Следовательно, \(T\) является центром такой гомотетии, а \(TO_1:TO_2=3:7\).

В треугольниках \(PAC\) и \(PBD\) стороны, прилежащие к углам при \(P\), пропорциональны: \(\frac{PA}{PB}=\frac{PC}{PD}\). Угол между этими сторонами равен: \(\angle APC=\angle BPD\). Следовательно, \(\triangle PAC \sim \triangle PBD\). Поэтому точка \(P\) может рассматриваться как центр спирального подобия, переводящего \(AC\) в \(BD\).

У треугольников \(OAB\) и \(OCD\) угол при \(O\) общий. Стороны, прилежащие к нему, пропорциональны: \(\frac{OA}{OC}=\frac{OB}{OD}\). Поэтому \(\triangle OAB \sim \triangle OCD\). Из подобия следует \(\angle OAB=\angle OCD\), значит, прямые \(AB\) и \(CD\) параллельны.

Углы \(\angle AOD\) и \(\angle COB\) вертикальные. Так как \(AD \parallel BC\), получаем \(\angle ADO=\angle CBO\). Следовательно, \(\triangle AOD \sim \triangle COB\). Из подобия следует \(\frac{AO}{OC}=\frac{DO}{OB}=\frac{AD}{BC}\), в частности \(\frac{AO}{OC}=\frac{DO}{OB}\).

Гомотетия переводит окружность в окружность и сохраняет центральную симметрию фигуры. Поэтому центр первой окружности переходит в центр второй окружности: \(O_1 \mapsto O_2\). При гомотетии точка, её образ и центр гомотетии лежат на одной прямой. Значит, \(H,O_1,O_2\) коллинеарны.

Пусть \(H\) - внешний центр гомотетии, причём меньшая окружность ближе к \(H\). Тогда \(\frac{HO_1}{HO_2}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}\). Поскольку центр внешний, точки \(H,O_1,O_2\) лежат на одной прямой и \(HO_2=HO_1+18\). Пусть \(HO_1=x\). Тогда \(\frac{x}{x+18}=\frac{2}{5}\). Получаем \(5x=2x+36\), откуда \(x=12\). Значит, \(HO_1=12\).

В подобии \(\triangle PAC \sim \triangle PBD\) соответствуют вершины \(P \leftrightarrow P\), \(A \leftrightarrow B\), \(C \leftrightarrow D\). Поэтому соответствующие стороны пропорциональны: \(\frac{AC}{BD}=\frac{PA}{PB}=\frac{PC}{PD}\). Соответствующие углы равны, значит, \(\angle ACP=\angle BDP\).

Повернём плоскость вокруг \(P\) на угол \(\angle APB\), переводя луч \(PA\) в луч \(PB\). Затем применим растяжение с коэффициентом \(\frac{PB}{PA}\). Точка \(A\) перейдёт в \(B\). Так как \(\angle APB=\angle CPD\), тот же поворот переводит луч \(PC\) в луч \(PD\). А из \(\frac{PA}{PB}=\frac{PC}{PD}\) следует \(\frac{PB}{PA}=\frac{PD}{PC}\), значит, то же растяжение переводит \(C\) в \(D\). Следовательно, \(P\) - центр спирального подобия.

Гомотетия с центром \(A\) и коэффициентом \(\frac{1}{2}\) переводит \(B\) в \(D\), \(C\) в \(E\), а отрезок \(BC\) в \(DE\). Середина отрезка при гомотетии переходит в середину образа. Поэтому середина \(M\) отрезка \(BC\) переходит в середину \(N\) отрезка \(DE\). Точка, её образ и центр гомотетии коллинеарны, значит, \(A,M,N\) лежат на одной прямой.

Так как точки \(A,B,C,M\) лежат на одной окружности, \(\angle BMC=\angle BAC\). Так как точки \(A,D,E,M\) лежат на одной окружности, \(\angle DME=\angle DAE\). Но \(AB\) и \(AD\) - одна прямая, а \(AC\) и \(AE\) - другая прямая. Поэтому \(\angle BAC=\angle DAE\). Следовательно, \(\angle BMC=\angle DME\).

Так как \(AD \parallel BC\), треугольники \(AOD\) и \(COB\) подобны. Поэтому \(\frac{AD}{BC}=\frac{AO}{OC}=\frac{3}{2}\). Значит, \(\frac{21}{BC}=\frac{3}{2}\), откуда \(BC=14\).

У треугольников \(AOD\) и \(COB\) углы при \(O\) вертикальные. По условию \(\frac{AO}{OC}=\frac{DO}{OB}\), то есть стороны, прилежащие к этим углам, пропорциональны. Следовательно, \(\triangle AOD \sim \triangle COB\). Тогда \(\angle DAO=\angle BCO\). Эти углы являются накрест лежащими при прямых \(AD\) и \(BC\), значит, \(AD \parallel BC\).

Из \(AB \parallel CD\) следует \(\triangle OAB \sim \triangle OCD\), поэтому \(O\) - центр гомотетии, переводящей \(AB\) в \(CD\), а коэффициент равен \(\frac{OC}{OA}\). Образ точки \(X\) при этой гомотетии лежит одновременно на прямой \(OX\) и на прямой \(CD\), то есть это точка \(Y\). Следовательно, \(\frac{OY}{OX}=\frac{OC}{OA}\), откуда \(\frac{OX}{OY}=\frac{OA}{OC}\).

Стороны \(PA,PC\) и \(PB,PD\) пропорциональны, а углы между ними равны. Следовательно, \(\triangle PAC \sim \triangle PBD\). Тогда соответствующие углы равны: \(\angle PAC=\angle PBD\). Также из подобия получаем \(\frac{AC}{BD}=\frac{PA}{PB}\).

Поворот вокруг \(P\) на угол \(\angle APB\) переводит луч \(PA\) в луч \(PB\). По условию тот же угол переводит луч \(PC\) в луч \(PD\). Далее растяжение с центром \(P\) и коэффициентом \(2\) переводит \(A\) в \(B\), потому что \(PB=2PA\), и \(C\) в \(D\), потому что \(PD=2PC\). Следовательно, композиция одного поворота и одного растяжения переводит \(AC\) в \(BD\), то есть \(P\) - центр спирального подобия.

Пусть \(H\) - внутренний центр гомотетии. Тогда \(H\) лежит на отрезке \(O_1O_2\) и \(\frac{HO_1}{HO_2}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}\). Пусть \(HO_1=x\), тогда \(HO_2=20-x\). Получаем \(\frac{x}{20-x}=\frac{2}{3}\). Значит, \(3x=40-2x\), откуда \(5x=40\), \(x=8\). Следовательно, \(HO_1=8\).

Угол между \(MB\) и \(MC\) равен \(\angle BMC\), а угол между \(MD\) и \(ME\) равен \(\angle DME\). Так как \(A,B,C,M\) лежат на одной окружности, \(\angle BMC=\angle BAC\). Так как \(A,D,E,M\) лежат на одной окружности, \(\angle DME=\angle DAE\). Прямые \(BAD\) и \(CAE\) задают один и тот же угол при \(A\), поэтому \(\angle BAC=\angle DAE\). Следовательно, требуемые углы равны.

Из подобия \(\triangle PAC \sim \triangle PBD\) следует \(\angle CAP=\angle DBP\). Так как \(AC \parallel PB\), угол \(\angle CAP\) равен углу между \(PB\) и \(PA\). Следовательно, угол между \(DB\) и \(PB\) равен углу между \(PA\) и \(PB\). Значит, прямые \(BD\) и \(PA\) параллельны.

Пусть внешние касательные касаются первой окружности в \(A_1,B_1\), а второй - в \(A_2,B_2\), причём \(A_1,A_2,H\) лежат на одной касательной, \(B_1,B_2,H\) - на другой. Радиусы к точкам касания перпендикулярны касательным, поэтому треугольники \(HO_1A_1\) и \(HO_2A_2\) прямоугольные и имеют общий угол при \(H\). Следовательно, они подобны. Значит, \(\frac{HO_1}{HO_2}=\frac{O_1A_1}{O_2A_2}\). Та же гомотетия с центром \(H\) переводит радиус первой окружности к касательной в соответствующий радиус второй. Поэтому она переводит первую окружность во вторую, а центр \(O_1\) - в \(O_2\). Тогда \(H,O_1,O_2\) коллинеарны.

Из цикличности \(A,B,C,M\) имеем \(\angle MBC=\angle MAC\). Из цикличности \(A,D,E,M\) имеем \(\angle MDE=\angle MAE\). Так как \(A,C,E\) коллинеарны, \(\angle MAC=\angle MAE\), значит, \(\angle MBC=\angle MDE\). Также по задаче из предыдущей конфигурации \(\angle BMC=\angle DME\). Следовательно, \(\triangle MBC \sim \triangle MDE\). По условию \(MB=MD\), коэффициент подобия равен \(1\), поэтому \(MC=ME\).

Так как \(D_iE_i \parallel BC\), отрезок \(D_iE_i\) является образом \(BC\) при гомотетии с центром \(A\) и некоторым коэффициентом \(k_i\). При этой гомотетии середина \(M\) отрезка \(BC\) переходит в середину \(M_i\) отрезка \(D_iE_i\). Поэтому точки \(A,M,M_i\) коллинеарны для \(i=1,2\). Значит, \(A,M_1,M_2,M\) лежат на одной прямой.

Имеем \(\frac{PA}{PB}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}\) и \(\frac{PC}{PD}=\frac{10}{15}=\frac{2}{3}\). По условию \(\angle APC=\angle BPD\). Значит, \(\triangle PAC \sim \triangle PBD\) по двум пропорциональным сторонам и углу между ними. Следовательно, \(P\) является центром спирального подобия, переводящего \(AC\) в \(BD\). Из подобия \(\frac{AC}{BD}=\frac{PA}{PB}=\frac{2}{3}\), поэтому \(AC:BD=2:3\).