Введение в неравенство Йенсена

Функция \(x^2\) выпукла. По Йенсену \(\frac{a^2+b^2+c^2}{3}\ge\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^2\). Умножение на \(3\) даёт требуемое.

По Йенсену для вогнутой функции \(\sqrt{x}\): \[\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}{3}\le\sqrt{\frac{x+y+z}{3}}=\sqrt{9}=3.\] Значит, сумма корней не больше \(9\).

По Йенсену \[\frac13\left(\frac1a+\frac1b+\frac1c\right)\ge\frac{1}{(a+b+c)/3}=\frac{3}{a+b+c}.\] Умножаем на \(3\).

Так как \(\ln x\) вогнута, \[\frac{\ln a+\ln b+\ln c}{3}\le\ln\frac{a+b+c}{3}=\ln2.\] Значит, \(\ln(abc)\le3\ln2=\ln8\), откуда \(abc\le8\).

Имеем \(x^2-2x+1=(x-1)^2\ge0\). Это ровно утверждение, что график выпуклой функции \(x^2\) лежит выше касательной в точке \(1\).

Так как \(x>0\), неравенство равносильно \(1\ge2x-x^2\), то есть \((x-1)^2\ge0\). Это касательная к \(1/x\) в точке \(1\).

Так как \(f(t)=t^2\) выпукла, \[p f(x)+(1-p)f(y)\ge f(px+(1-p)y).\] Это и есть требуемое неравенство.

По вогнутости \(\sqrt{x}\), \[\sqrt{\frac{x+2y}{3}}\ge\frac13\sqrt{x}+\frac23\sqrt{y}.\] Умножаем на \(3\).

По Йенсену \[\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}{3}\le\sqrt{\frac{48}{3}}=4.\] Поэтому сумма не больше \(12\). Равенство достигается при \(x=y=z=16\), значит максимум равен \(12\).

Так как \(\ln x\) вогнута, \[\frac{\ln a+\ln b+\ln c}{3}\le\ln\frac{a+b+c}{3}=\ln4.\] Следовательно, \(\ln(abc)\le\ln64\), то есть \(abc\le64\). Равенство при \(a=b=c=4\).

По Йенсену \[\frac13\sum\frac{1}{1+a}\ge\frac{1}{1+(a+b+c)/3}=\frac{1}{3}.\] Умножив на \(3\), получаем требуемое.

Функция \(f(x)=\frac{x}{1+x}\) вогнута при \(x\ge0\). По Йенсену \[\frac13\sum\frac{a}{1+a}\le \frac{1}{1+1}=\frac12.\] Значит, сумма не больше \(\frac32\).

По Йенсену \[\frac{a^4+b^4+c^4}{3}\ge\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^4.\] Умножаем на \(3\): \(\sum a^4\ge\frac{(a+b+c)^4}{27}\).

По Йенсену \[\frac{e^x+e^y+e^z}{3}\ge e^{(x+y+z)/3}=e^0=1.\] Следовательно, сумма не меньше \(3\).

Функция \(\ln x\) вогнута, поэтому график лежит ниже любой касательной. В точке \(1\) касательная имеет уравнение \(y=x-1\). Следовательно, \(\ln x\le x-1\).

Так как \(\sqrt{x}\) вогнута, график лежит ниже касательной в точке \(1\). Эта касательная: \(y=1+\frac12(x-1)=\frac{x+1}{2}\). Значит, \(\sqrt{x}\le\frac{x+1}{2}\).

Функция \(\ln(1+t)\) вогнута при \(t\ge0\). Поэтому \[\frac{\ln(1+x)+\ln(1+y)+\ln(1+z)}{3}\le\ln\left(1+\frac{x+y+z}{3}\right)=\ln2.\] Значит, логарифм произведения не больше \(\ln8\), откуда произведение не больше \(8\).

Функция \(f(t)=\frac1{2+t}\) выпукла при \(t\ge0\). По Йенсену \[\frac13\sum\frac1{2+x}\ge \frac1{2+(x+y+z)/3}=\frac13.\] Умножаем на \(3\).

По Йенсену \[\frac{x^4+y^4+z^4}{3}\ge\left(\frac{x+y+z}{3}\right)^4=1.\] Значит, сумма четвёртых степеней не меньше \(3\). Равенство при \(x=y=z=1\).

Функция \(f(t)=t\ln t\) выпукла при \(t>0\). По Йенсену \[\frac{x\ln x+y\ln y+z\ln z}{3}\ge f\left(\frac{x+y+z}{3}\right)=f(1)=0.\] Следовательно, \(\ln(x^x y^y z^z)\ge0\), значит \(x^x y^y z^z\ge1\).

Функция \(e^x\) выпукла на всей прямой. Поэтому по Йенсену среднее значений функции не меньше значения функции в среднем аргументов: \[\frac1n\sum e^{x_i}\ge e^{(\sum x_i)/n}.\]

Функция \(\ln(1+x)\) вогнута при \(x\ge0\). Поэтому \[\frac1n\sum_{i=1}^n\ln(1+x_i)\le\ln\left(1+\frac{S}{n}\right).\] Умножая на \(n\), получаем \(\ln\prod(1+x_i)\le n\ln(1+S/n)\). Возводя \(e\) в обе части, получаем требуемое.

Так как \(f(t)=t\ln t\) выпукла при \(t>0\), по Йенсену \[\frac1n\sum_{i=1}^n x_i\ln x_i\ge f\left(\frac{x_1+\cdots+x_n}{n}\right)=f(1)=0.\] Значит, \(\ln\prod x_i^{x_i}=\sum x_i\ln x_i\ge0\). Следовательно, \(\prod x_i^{x_i}\ge1\).

По Йенсену \[\frac1n\sum_{i=1}^n\frac1{x_i^2}\ge \frac{1}{\left((x_1+\cdots+x_n)/n\right)^2}=1.\] Умножаем на \(n\) и получаем требуемое.