Прямая Симсона и педальная геометрия

E. Полное решение.

Так как \(A_1\in BC\) и \(PA_1\perp BC\), имеем \(\angle PA_1C=90^\circ\). Аналогично \(B_1\in CA\) и \(PB_1\perp CA\), поэтому \(\angle PB_1C=90^\circ\).

Значит, точки \(A_1\) и \(B_1\) лежат на окружности с диаметром \(PC\). Следовательно, \(P,A_1,C,B_1\) цикличны.

E. Полное решение.

По предыдущему факту точки \(A_1\) и \(B_1\) лежат на окружности с диаметром \(PC\), значит \(A_1B_1\) - хорда этой окружности. Аналогично, \(B_1\) и \(C_1\) лежат на окружности с диаметром \(PA\), а \(C_1\) и \(A_1\) - на окружности с диаметром \(PB\).

Следовательно, все три стороны педального треугольника естественно связаны с окружностями на \(PA,PB,PC\) как на диаметрах.

E. Полное решение.

Так как \(H\) лежит на высоте из \(A\), прямая \(AH\) перпендикулярна \(BC\). Поэтому основание перпендикуляра из \(H\) на \(BC\) совпадает с основанием высоты из \(A\). Аналогично проекции \(H\) на \(CA\) и \(AB\) совпадают с основаниями высот из \(B\) и \(C\).

E. Полное решение.

Сторона \(BC\) является хордой описанной окружности. Перпендикуляр из центра \(O\) к хорде \(BC\) делит её пополам. Значит, проекция \(O\) на \(BC\) - середина \(BC\). Аналогично для \(CA\) и \(AB\).

E. Полное решение.

Из прямых углов имеем циклические четырёхугольники \(P,A_1,C,B_1\) и \(P,B_1,A,C_1\). Поэтому \(\angle A_1B_1C=\angle A_1PC\), а \(\angle C_1B_1A=\angle C_1PA\) в направленном смысле.

Так как \(A,B,C,P\) лежат на одной окружности, углы, опирающиеся на соответствующие дуги, дают равенство этих двух направленных углов. Значит, лучи \(B_1A_1\) и \(B_1C_1\) лежат на одной прямой. Следовательно, \(A_1,B_1,C_1\) коллинеарны.

E. Полное решение.

Как и в прямой теореме, из прямых углов получаем циклические четырёхугольники \(P,A_1,C,B_1\) и \(P,B_1,A,C_1\). Коллинеарность \(A_1,B_1,C_1\) даёт равенство соответствующих направленных углов.

Перенося эти углы на окружности с диаметрами, получаем \(\angle PCA=\angle PBA\). Это критерий цикличности точек \(P,C,A,B\). Следовательно, \(P\) лежит на описанной окружности треугольника \(ABC\).

E. Полное решение.

Педальный треугольник имеет нулевую площадь тогда и только тогда, когда его вершины \(A_1,B_1,C_1\) лежат на одной прямой.

Если \(P\) лежит на описанной окружности, то по теореме Симсона \(A_1,B_1,C_1\) коллинеарны. Обратно, если они коллинеарны, то по обратной теореме Симсона \(P\) лежит на описанной окружности. Следовательно, утверждение доказано.

E. Полное решение.

Пусть \(A_1,B_1,C_1\) - обычные основания перпендикуляров из \(P\). По теореме Симсона они лежат на одной прямой. Новые точки \(A_2,B_2,C_2\) на \(BC,CA,AB\) получаются из \(A_1,B_1,C_1\) одинаковым изменением угла при \(P\): от направления перпендикуляра к направлению, образующему угол \(\alpha\) со стороной.

Для каждой стороны соответствие \(A_1\mapsto A_2\), \(B_1\mapsto B_2\), \(C_1\mapsto C_2\) задаётся одной поворотной гомотетией с центром \(P\) и углом \(90^\circ-\alpha\). Такая трансформация переводит прямую в прямую. Поэтому \(A_2,B_2,C_2\) коллинеарны.

E. Полное решение.

Пусть \(A_1,B_1,C_1\) - проекции \(P\) на \(BC,CA,AB\). Направление прямой Симсона можно выразить, например, через угол между \(B_1C_1\) и \(AB\). Из цикличности \(P,B_1,A,C_1\) этот угол равен углу между \(PA\) и \(PC\) в соответствующей форме.

Так как \(PQ\perp BC\), вписанные углы, задающие направление \(AQ\), совпадают с углами, задающими направление \(B_1C_1\). Следовательно, \(B_1C_1\parallel AQ\). Значит, вся прямая Симсона точки \(P\) параллельна \(AQ\).

E. Полное решение.

Пусть \(M\) - середина \(PH\), а \(B_1,C_1\) - проекции \(P\) на \(CA\) и \(AB\). Так как \(BH\perp AC\), а \(PB_1\perp AC\), имеем \(PB_1\parallel BH\). Аналогично \(PC_1\parallel CH\).

В гомотетии с центром \(P\) и коэффициентом \(\frac12\) точка \(H\) переходит в \(M\), а направления \(BH\) и \(CH\) переходят в направления через \(B_1\) и \(C_1\). Из параллельности соответствующих отрезков получаем \(M\in B_1C_1\). Но \(B_1C_1\) - прямая Симсона, значит она проходит через \(M\).

E. Полное решение.

Направление прямой Симсона меняется на половину углового перемещения точки по описанной окружности. Точки \(P\) и \(Q\) диаметрально противоположны, поэтому радиусы \(OP\) и \(OQ\) отличаются поворотом на \(180^\circ\).

Следовательно, направления их прямых Симсона отличаются на \(90^\circ\). Значит, эти прямые перпендикулярны.

E. Полное решение.

Пусть \(H\) - ортоцентр, \(M\) и \(N\) - середины \(PH\) и \(QH\). По свойству прямой Симсона прямая Симсона точки \(P\) проходит через \(M\), а прямая Симсона точки \(Q\) проходит через \(N\). Точки \(M\) и \(N\) лежат на окружности девяти точек, потому что эта окружность является образом описанной окружности при гомотетии с центром \(H\) и коэффициентом \(\frac12\).

Из предыдущей задачи прямые Симсона перпендикулярны. В стандартной конфигурации окружности девяти точек угол \(MXN\) опирается на диаметр \(MN\) этой окружности, поэтому \(X\) лежит на ней. Иначе это можно проверить углами: \(\angle MXN=90^\circ\), а \(MN\) является диаметром соответствующей окружности.

E. Полное решение.

При перемещении точки по описанной окружности на дугу угловой величины \(2\varphi\) направление прямой Симсона меняется на \(\varphi\). Поэтому если прямые Симсона \(P\) и \(Q\) параллельны, их направления совпадают по модулю \(180^\circ\). Значит, дуги между \(P\) и \(Q\) имеют угловую величину \(0^\circ\) или \(360^\circ\), то есть \(P=Q\).

Обратное очевидно: если \(P=Q\), то прямые Симсона совпадают, а значит параллельны.

E. Полное решение.

По ранее доказанным фактам проекции центра описанной окружности \(O\) на стороны \(ABC\) - середины сторон, а проекции ортоцентра \(H\) - основания высот.

Окружность девяти точек треугольника \(ABC\) проходит через середины сторон и основания высот. Следовательно, оба педальных треугольника имеют все свои вершины на одной и той же окружности девяти точек.

E. Полное решение.

Пусть \(A_1\) и \(B_1\) - проекции \(P\) на \(CB\) и \(CA\). Точки \(A_1\) и \(B_1\) лежат на окружности с диаметром \(PC\). Угол \(\angle A_1CB_1\) равен углу \(\angle ACB\), который по условию постоянен.

Следовательно, хорда \(A_1B_1\) окружности с диаметром \(PC\) имеет постоянную длину. Прямая Симсона является прямой \(A_1B_1\). Все хорды фиксированной окружности одной и той же длины касаются концентрической окружности фиксированного радиуса. Значит, все такие прямые Симсона касаются одной фиксированной окружности.

E. Полное решение.

По теореме Симсона точки \(A_1,B_1,C_1\) коллинеарны. Рассмотрим угол между прямой Симсона и \(AB\). Через циклический четырёхугольник \(P,B_1,A,C_1\) он равен углу между \(PB_1\) и \(PA\), то есть углу между перпендикуляром к \(AC\) и прямой, параллельной \(BC\).

Этот угол равен углу между высотой из \(A\) и \(AB\). Следовательно, прямая Симсона имеет то же направление, что высота из \(A\), то есть параллельна ей.

E. Полное решение.

Для треугольника \(BCD\) прямая Симсона точки \(A\) проходит через середину отрезка \(AH_A\), где \(H_A\) - ортоцентр \(BCD\). Аналогично определяются три другие середины. В вписанном четырёхугольнике эти четыре ортоцентра образуют систему, в которой соответствующие середины лежат на одной окружности девяти точек полного четырёхугольника.

Кроме того, направления четырёх прямых Симсона согласованы попарно через одну и ту же окружность: переход от одной вершины к другой меняет треугольник и точку Симсона, но сохраняет общую точку Микеля ортопедальной конфигурации. Поэтому все четыре прямые пересекаются в этой точке.

Можно проверить последнее углами: пересечение \(l_A\) и \(l_B\) лежит также на \(l_C\) и \(l_D\), потому что соответствующие углы с \(AB,BC,CD,DA\) выражаются через одни и те же дуги исходной окружности.

E. Полное решение.

Гомотетия с центром \(H\) и коэффициентом \(\frac12\) переводит точку \(P\) в середину \(M\) отрезка \(PH\). Поскольку \(P\) движется по описанной окружности, образ этой окружности при такой гомотетии есть окружность девяти точек. Значит, \(M\) движется по окружности девяти точек.

По свойству прямой Симсона для каждой точки \(P\) эта же середина \(M\) лежит на прямой Симсона точки \(P\). Следовательно, оба утверждения выполнены одновременно.

E. Полное решение.

Педальный треугольник имеет площадь \(0\) тогда и только тогда, когда его вершины, то есть три проекции точки \(P\), коллинеарны.

По теореме Уоллеса-Симсона это происходит тогда и только тогда, когда \(P\) лежит на описанной окружности треугольника \(ABC\). Следовательно, искомое геометрическое место - описанная окружность \(ABC\).

E. Полное решение.

Направление прямой Симсона точки \(P\) можно выразить через угол между этой прямой и одной фиксированной стороной, например \(AB\). В доказательстве теоремы Симсона этот угол равен вписанному углу, зависящему от дуги с концом \(P\).

Когда точка \(P\) переходит из \(P_1\) в \(P_2\), соответствующий центральный угол меняется на \(2\varphi\), а вписанный угол - на \(\varphi\). Значит, направление прямой Симсона меняется на \(\varphi\). Поэтому угол между двумя прямыми Симсона равен \(\varphi\).

E. Полное решение.

Направление прямой Симсона точки \(A\) относительно \(BCD\) выражается через дуги окружности \(ABCD\). Направление прямой Эйлера треугольника \(BCD\) также зависит только от положения \(B,C,D\) на этой окружности и их ортоцентра.

Если записать условие перпендикулярности в направленных углах, оно превращается в равенство дуг, симметричное относительно замены \(A\) и \(B\). Поэтому то же равенство даёт перпендикулярность прямой Симсона точки \(B\) относительно \(ACD\) и прямой Эйлера треугольника \(ACD\).

Иными словами, условие является свойством четырёх точек на одной окружности, а не выбранной вершины. Замена \(A\leftrightarrow B\) сохраняет его.

E. Полное решение.

Для каждого треугольника, полученного удалением одной вершины, прямая Симсона точки \(P\) проходит через три проекции \(P\) на стороны этого треугольника. Проекция \(P\) на такую прямую может быть описана через окружность с диаметром между \(P\) и соответствующей вершиной удалённой конфигурации.

Рассмотрим три треугольника, например \(BCD,CDA,DAB\). Угловые выражения для проекций \(P\) на их прямые Симсона зависят от одних и тех же дуг окружности \(ABCDP\). Сравнение направленных углов показывает, что три такие проекции коллинеарны. Четвёртая проекция удовлетворяет тому же угловому условию по циклической симметрии.

Следовательно, все четыре проекции лежат на одной прямой. Эту прямую называют прямой Симсона вписанного четырёхугольника относительно точки \(P\).

E. Полное решение.

Пусть \(M\) - середина \(PH\). Тогда \(M\) лежит на окружности девяти точек и одновременно на прямой Симсона точки \(P\). При малом перемещении \(P\) точка \(M\) движется по окружности девяти точек, а направление прямой Симсона меняется согласованно с направлением касательной к траектории \(M\).

Точка касания огибающей получается как предельное положение пересечения двух близких прямых Симсона. Её можно построить из \(M\): провести через \(M\) прямую Симсона и учесть, что скорость поворота этой прямой равна половине скорости движения \(P\). Полученная огибающая является классической дельтоидой Штейнера.

Для целей модуля важно не название кривой, а механизм: прямая Симсона всегда проходит через точку девятиточечной окружности, но её направление меняется так, что возникает фиксированная огибающая.

E. Полное решение.

В комплексной плоскости для прямой через две точки \(u,v\) единичной окружности основание перпендикуляра из точки \(p\) можно записать в виде линейного выражения через \(p,u,v\) и их сопряжённые. Так как \(\overline{u}=1/u\), \(\overline{v}=1/v\), формула упрощается до рационального выражения.

Вычитая координаты двух оснований перпендикуляров, например на \(CA\) и \(AB\), получаем направляющее число прямой Симсона. После сокращения оно пропорционально \((p-a)(p-b)(p-c)/p\).

Если заменить \(p\) на противоположную точку \(q=-p\), направляющее число умножается на чисто мнимый множитель. Это означает поворот направления на \(90^\circ\). Следовательно, прямые Симсона противоположных точек перпендикулярны.